容斥問(wèn)題在公務(wù)員考試行測(cè)中是很常見(jiàn)的一種題型,難度相對(duì)來(lái)說(shuō)也不大,但是有些考生對(duì)于容斥問(wèn)題的理解還不是很清晰,不能很好地解決其中的問(wèn)題。在此考生吧就將容斥問(wèn)題的解法做一下總結(jié),希望考生也能夠快速掌握,在考場(chǎng)上又快又準(zhǔn)地做出容斥相關(guān)問(wèn)題。
容斥問(wèn)題簡(jiǎn)單來(lái)說(shuō)就是一種計(jì)數(shù)原理,一般先把所有的情況都相加,再把重復(fù)的情況排除掉,這樣就能得出計(jì)算結(jié)果。在行測(cè)考試中我們常見(jiàn)的是兩者容斥和三者容斥問(wèn)題。無(wú)論是解決兩者容斥還是三者容斥,基本的方法有兩招:一招是文氏圖,這也是很多考生常用的方法;另一招就是用公式。這兩招說(shuō)起來(lái)很簡(jiǎn)單,但是什么情況下用文氏圖什么情況下用公式呢?河北公務(wù)員考試網(wǎng)在此就向大家細(xì)細(xì)說(shuō)明。
第一招:文氏圖
我們從簡(jiǎn)單的兩者容斥問(wèn)題開(kāi)始看看用文氏圖如何解題。
例1.某班對(duì)50名學(xué)生進(jìn)行體檢,有20人近視,12人超重,4人既近視又超重。該班有多少人既不近視又不超重?
A.22人 B.24人 C.26人 D.28人
解析:根據(jù)題目畫(huà)出文氏圖,如下圖所示,由題干可知近視和超重的人一共是20+12-4=28人,總?cè)藬?shù)是50人,那么既不近視又不超重的人有50-28=22人。故答案選A。
下面再看看較為復(fù)雜的三者容斥問(wèn)題。
例2.某調(diào)查公司對(duì)甲、乙、丙三部電影的收看情況向125人進(jìn)行調(diào)查,有89人看過(guò)甲片,有47人看過(guò)乙片,有63人看過(guò)丙片,其中有24人三部電影全看過(guò),20人一部電影也沒(méi)有看過(guò),則只看過(guò)其中兩部電影的人數(shù)是( )。
A.69人 B.65人 C.57人 D.46人
解析:根據(jù)題意畫(huà)出文氏圖,如下圖所示。看過(guò)甲、乙、丙三部電影的人有:125-20=105人,那么只看過(guò)其中兩部電影的人數(shù)是:(89+47+63)-2×24-105=46人。故答案選D。
通過(guò)上面兩道題目我們可以體會(huì)到當(dāng)題目中不涉及最大值或最小值時(shí),直接畫(huà)文氏圖就可以解決問(wèn)題,利用文氏圖解決問(wèn)題的時(shí)候只要把全部的情況都算上,再把重復(fù)的變?yōu)閱未蔚木涂梢粤恕?/p>
第二招:公式
例3.在100個(gè)學(xué)生中,音樂(lè)愛(ài)好者有56人,體育愛(ài)好者有75人,那么既愛(ài)好音樂(lè)又愛(ài)好體育的人最少有多少人?最多有多少人?
解析:既愛(ài)好音樂(lè)又愛(ài)好體育的人其實(shí)就是下圖中兩個(gè)集合的交集,當(dāng)一個(gè)集合完全融于另一個(gè)集合時(shí)交集最大。
也就是說(shuō)既愛(ài)好音樂(lè)又愛(ài)好體育的人最多有56人。兩個(gè)集合分別用A、B表示。那么(A∩B)max =min {A,B}。同理三者容斥的最大值(A∩B∩C)max =min {A,B,C}。
那么什么時(shí)候兩個(gè)集合的交集最小呢?我們知道:全集=愛(ài)好音樂(lè)+愛(ài)好體育-既愛(ài)好音樂(lè)又愛(ài)好體育+既不愛(ài)好音樂(lè)也不愛(ài)好體育,即I=A+B-A∩B +○,A∩B=A+B+○-I,A、B、I是固定不變的,求A∩B的最小值,那就要求○也最小,○最小可以為0。那么可知(A∩B)min=A+B-I,同理(A∩B∩C)min=A+B+C-2I,(A∩B∩C∩D)min=A+B+C+D-3I。
那么在本題中既愛(ài)好音樂(lè)又愛(ài)好體育的人最少有56+75-100=31人。
河北公務(wù)員考試網(wǎng)提醒考生,用以上兩招解答容斥問(wèn)題首先要分清楚題型,求最大值或最小值直接用公式,其余題目畫(huà)文氏圖就可以了,考生們可以通過(guò)多練習(xí)去體會(huì)并加深印象!
更多解題思路和解題技巧,可參看2016年公務(wù)員考試技巧手冊(cè)。