不定方程不僅僅是省考的常見考點(diǎn)，更是省考中數(shù)學(xué)運(yùn)算的重點(diǎn)，基本上每年都是必考的題目。因此，不定方程問題一定要引起廣大考生的注意和重視，廣大考生全面掌握不定方程的解法，在以后的考場(chǎng)上可以更游刃有余。
例1.某單位為業(yè)務(wù)技能大賽獲獎(jiǎng)職工發(fā)放獎(jiǎng)金，一、二、三等獎(jiǎng)每人獎(jiǎng)金分別為800、700和500元。11名獲一、二、三等獎(jiǎng)的職工共獲獎(jiǎng)金6700元，問有多少人獲得三等獎(jiǎng)?
A3 B4 C5 D6
解析
假設(shè)一、二、三等獎(jiǎng)的人數(shù)分別是x、y、z，則列方程組
800x+700y+500z=6700
簡(jiǎn)化為8x+7y+5z=67 ······①
x+y+z=11 ······②
此時(shí)，題目轉(zhuǎn)化為求解不定方程，無法直接得到結(jié)果，但是可以采用消元結(jié)合排除法來解決。
思路一：倍數(shù)關(guān)系。消去未知數(shù)z，(①-5×②)，得到3x+2y=12，所以y只能取3的倍數(shù)。所以y=3，則推出x=2，z=6。故正確答案為D。
思路二：排除法。消去無關(guān)未知數(shù)y，(7×②-①)，得到2z-x=10，此時(shí)根據(jù)選項(xiàng)代入，z只能取大于5的數(shù)，否則x將為負(fù)值，所以只能選D選項(xiàng)。
秒殺法：
按照平均值的思想，如果11個(gè)人的平均獎(jiǎng)金為600元(只考慮500元和700元的平均值)，那么總獎(jiǎng)金應(yīng)該為6600元，但是由于題目中還包含800元的獲獎(jiǎng)?wù)?，所以只有?dāng)獲得500元的人超過半數(shù)，才能夠使總金額達(dá)到6700元甚至更低，只能選D。
速解
本題主要考察的是對(duì)于不定方程的處理方式，通過尋找倍數(shù)關(guān)系或者結(jié)合選項(xiàng)利用排除法來解決。但是由于題目類似于十字交叉法和平均值問題的設(shè)題方式，也可以通過加權(quán)的方式定性思維，結(jié)合選項(xiàng)秒殺。
例2.現(xiàn)有3個(gè)箱子，依次放入1、2、3個(gè)球，然后將3個(gè)箱子隨機(jī)編號(hào)為甲、乙、丙，接著在甲、乙、丙3個(gè)箱子里分別放入其箱內(nèi)球數(shù)的2、3、4倍。兩次共放了22個(gè)球。最終甲箱中球比乙箱( )。
A多1個(gè) B少1個(gè) C多2個(gè) D少2個(gè)
解析
第一次放入共6個(gè)球，所以第二次共放入22-6=16個(gè)球，所以列方程得：2甲+3乙+4丙=16，此時(shí)觀察可知，乙的球數(shù)必須為偶數(shù)，否則方程不平衡，所以乙中是原來的2個(gè)球的箱子。代入1,3兩值可知，甲=3，丙=1。所以甲中有9個(gè)球，乙中有8個(gè)球，多1個(gè)。故正確答案為A。
速解
解不定方程的常用技巧——利用奇偶性求解不定方程。
例3.小王、小李、小張和小周4人共為某希望小學(xué)捐贈(zèng)了25個(gè)書包，按照數(shù)量多少的順序分別是小王、小李、小張、小周。已知小王捐贈(zèng)的書包數(shù)量是小李和小張捐贈(zèng)書包的數(shù)量之和;小李捐贈(zèng)的書包數(shù)量是小張和小周捐贈(zèng)的書包數(shù)量之和。問小王捐贈(zèng)了多少個(gè)書包?
A9 B10 C11 D12
解析
假設(shè)小周捐贈(zèng)x個(gè)，小張捐贈(zèng)x+y個(gè)，則小李捐贈(zèng)了2x+y個(gè)，小王捐贈(zèng)了3x+2y個(gè)
把所有的書包相加得到，7x+4y=25，所以可知y只能取1、3、5的奇數(shù)，代入發(fā)現(xiàn)只有y=1合適，所以解得x=3，最終小王為11。
擴(kuò)展
典型的不定方程求解，根據(jù)奇偶性求解。
例4.小張購(gòu)買了2個(gè)蘋果、3根香蕉、4個(gè)面包和5塊蛋糕，共消費(fèi)58元。如果四種商品的單價(jià)都是正整數(shù)且各不相同，則每塊蛋糕的價(jià)格最高可能為多少元?
A.5 B.6 C.7 D.8
解析
從最大選項(xiàng)代入，若蛋糕8元一個(gè)，則2個(gè)蘋果、3根香蕉、4個(gè)面包的價(jià)格為58-5×8=18元。當(dāng)蘋果4元一個(gè)，香蕉2元一根，面包1元一個(gè)時(shí)，剛好有2×4+3×2+4×1=18元。所以蛋糕最高是8元。
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